Croissances comparées

Soit $\left(u_n\right)$  la suite définie pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$  par $u_n={\displaystyle \frac{n^n}{n!}}$ .

1. a. Montrer que $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ , $u_{n+1}-u_n={\displaystyle \frac{(n+1{)}^n-n^n}{n!}}$ .
    b. En déduire le sens de variations de la suite $\left(u_n\right)$ .

2. a. En écrivant $u_n$  sous la forme  $u_n={\displaystyle \prod _{k=1}^n{\displaystyle \frac{n}{k}}}$ , démontrer que $u_n⩾n$ .
    b. En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$ .